《级数》试题求解时的技巧和注意点总结
级数一章看似简单，但实际需要注意的地方也比较的多，特别如∑的下标是从0开始还是从1开始？X∑Un中的X在求和函数时是放在积分符号之内呢还是放在其之外？等等，象这种细微的差别就有可能使您的求解结果相差十万八千里。以下是一些关于本人在求解级数试题时所作的技巧和注意点总结，看一下您是否曾经也犯过类似的错误。 + r0 G) W' N/ k4 q) q
% j! t$ b9 f8 e9 ^0 Z1）∑（0，∞）sin(aπ)=∑（0，∞）(-1)^nsin(aπ-nπ)
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( w+ N( I) P, j; Q2）在运用莱布尼兹判敛法则时的第二个条件可以运用单调性判断；即f'(x)是否大于0？ 9 m# q) ?! R% z, E
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3）在解展开幂级数或求幂级数的和函数时，收敛域的求解勿忘。 5 y! X! O9 a _; K
/ K3 }, n0 O* l! v5 x- B4）在某点处展开幂级数除了写出收敛域外还要去除该点。
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" t3 o3 O( Y% l2 F+ H6 O, i5）在解幂级数展开时应注意，∑的下标是从0开始还是从1开始，在具有积分时还需看f(0)是否为0。即∫f'(x)dx+f(0)=f(x).这一点作了新的修订
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& }2 e# ]" z9 T& H- h3 _6）在求幂级数和函数时，积分，导数既可对∑内的X起作用，也可以对∑外的X起作用，但需要一一对应，即对被处理项用一次积分同时必须对其用一次导数；反之也然。 , L' n' b9 Y1 Y! }6 @9 U
. a- ?' {( X7 M" v* `( c7）求得和函数表达式时，还要看属于收敛域，但并不属于定义域的点，这些点需要单独列出来，求得和函数的值。
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' q' E( H& k+ T) l8）当∑（0，∞）Un中的U0=0时，∑（0，∞）Un=∑（1，∞）Un，而且在套用积分时必须写成后者形式，以免出现∫(0,x)0dx=1的错误情况。注意：有的下表甚至从2开始。如陈《复习指南》02版例8，31,(2) ( f9 Y0 C/ v! Z6 I4 c* D
/ U% _' }. Q% z' Z3 \$ Q9）数项级数求和的四类方法：简单转换法，拆项相消法，递推法，阿尔贝法。其中阿尔贝法最重要。
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! \* R6 A# i0 W10）求解傅立叶级数时的四点总结
$ H% ^5 k! u& Z3 aa、对于一个级数既可以奇开拓，又可以偶开拓，按题目的要求确定求正弦级数还是余弦级数. I2 M- u. [3 I4 _, ^; ^0 l
b、开拓后的级数按平常级数展开，并注意写上定义域
. D* ?. I" `3 A0 B/ ~5 cc、定义域的端点的傅立叶级数是没有意义的，如要求值，则需用狄莱克利定理求解
" {& O. S% B% D# zd、在求an或bn时出现[1-(-1)^n]这样的项时，一般情况下使n=2k,n=2k+1分开讨论，使结果更简洁 2 Z1 d$ x$ S9 x. M- t9 p1 \ ?
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因nanxingstar网友的要求，以下是如何求级数敛散性的总结 h; ~% _5 f1 t! S# \, u
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如何求级数的敛散性（拿到一个敛散性判断问题时怎样入手） # `5 ]! P; J# u: \
' A( c+ a5 `% p6 m2 v% H首先判断级数的类型
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/ i9 H4 ^+ Y' a6 L. ^3 {1，如果级数为正项级数：则先看当n趋于无穷时Un是否等于0，不为0则级数发散，等于0则用以下三种方法判断
+ [. E% Q0 N' y6 |- I1）比较法; W* K$ L& O; l4 `( V6 y
2）比值法. W3 l7 l7 l9 G# J3 F
3）根值法
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" K$ V1 Y; B9 a1 j) u5 a/ c4 s技巧：
, @/ A/ k8 Z0 T4 K! K; s1）如果级数项中含有阶乘的形式一般用比值法
. K2 Z Y( V" n) w) w2）如果级数项中含有指数项P^n则一般用根值法
3 J* b5 G0 J: Y" c: g( `5 t! ^3）既有阶乘项又有指数项则一般用比值法
# T1 s* U# { D+ C- n! d/ Q4）其它的一般用比较法* R1 Y7 X3 e% E# V
a、两个定理
' P3 T( E6 Q; \5 F# h3 H& h差形式和极限形式
* [# u8 X/ M% Z4 D( S3 jb、两个推论
& r* g: w0 b. w5 X1 W8 K数乘差形式和P-级数形式 8 Z& B' X" o' k& H
4 X4 M8 {; d% m- e5 }! Q& o
2，如果级数是交错级数
: a8 l+ N7 D$ ^; G则运用莱布尼兹定理 4 i) g! w5 M/ `3 [: f
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技巧：5 u0 r$ H9 E1 y# d9 A* Q1 ?% t8 x
在判断第二个条件时一般用单调性判断 1 U% ?$ b' V" @0 j( v" Z
: Z3 Z# e2 z+ E7 t0 H8 n% u3，如果是任意项级数
1 T6 Y9 F% m& _) U% U% f则转化成正项级数，运用任意项级数和正项级数的关系试判断（定理七） 8 ~# | V! q u- L
8 P7 P4 }( k5 p: `, v注意点：9 |& H9 d& G1 Q. {+ v
1）比值法，根值法是充分但不必要条件/ D' Z+ y' A* L8 F3 L$ a& t7 f
2）涉及证明一般只能用比较法' ?$ O/ d1 N) A+ e
3）但在判断级数发散时，比值法，根值法同样适用
